Question

已知在各项不为零的数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（I）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理a_na_n-1+a_n-a_n-1=0得

1

an

-

1

an-1

判断出数列{

1

an

}为等差数列，进而求得数列{

1

an

}的通项公式，则a_n可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=a_na_n+1，求得数列{b_n}的通项公式，进而根据裂项法求得数列的前n项的和，则其极限可得．

解答：解：（Ⅰ）依题意，a_n≠0，故可将a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=1(n≥2)
所以

1

an

=1+1×(n-1)=n即an=

1

n

n=1，上式也成立，所以an=

1

n

（Ⅱ）∵b_n=a_na_n+1
∴bn=

1

n

×

1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=b1+b2+b3++bn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

n

n+1

=1

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．