Question

（2008•湖北模拟）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解关于x的不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1  (a＜0)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据f（x）＜0的解集是（0，5）设f（x）=Ax（x-5）（A＞0），再结合在区间[-1，4]上的最大值是12求出A．即可得到结论；
（Ⅱ）先把不等式转化

ax+5

2x2-10x

＞0；进而得到x（x-5）（ax+5）＞0；再通过讨论几个根的大小即可得到不等式的解集．

解答：解（I）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5）
∴可设f（x）=Ax（x-5）（A＞0），（2分）
∴f（x）的对称轴为x=

5

2

且开口向上．
∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6A=12．∴A=2．
∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．（4分）
（Ⅱ）由已知有

ax+5

2x2-10x

＞0．
∴x（x-5）（ax+5）＞0．
又a＜0，∴x(x-5)(x+

5

a

)＜0．（6分）
（i）若-1＜a＜0，则5＜-

5

a

，∴x＜0或5＜x＜-

5

a

．（8分）
（ii）若a=-1，则x＜0．（9分）
（iii）若a＜-1，则-

5

a

＜5，
∴x＜0或-

5

a

＜x＜5．（11分）
综上知：
当-1＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜0或5＜x＜-

5

a

}；
当a=-1时，原不等式的解集为{x|x＜0}；
当a＜-1时，原不等式的解集为{x|x＜0或-

5

a

＜x＜5}．（12分）

点评：本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．一元二次不等式的解集的区间端点值为对应方程的根．