Question

【题目】已知函数f（x）=3x2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+mx﹣2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．

∴ ，

解得 ，

∴f（x）=3x2+6x；

（2）解：由（1）知，f（x）=3x2+6x，

∵g（x）=f（x）+mx﹣2，

∴g（x）=3x2+6x+mx﹣2，

=3[x+（1+ ）]2﹣2﹣3×+（1+ ）2，

∵函数g（x）在（2，+∞）上单调递增，

∴﹣（1+ ）≤2，

∴m≥﹣18；

∴实数m的取值范围为m≥﹣18

【解析】（1）根据题意判断出：﹣2和0是方程3x2+bx+c=0的两个实根，代入列出方程，求出b和c的值；（2）由（1）求出g（x）的解析式，再求出对称轴方程，根据条件和二次函数的单调性，列出不等式，求出m的范围
【考点精析】掌握二次函数的性质和解一元二次不等式是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．