Question

曲线y=2+

3+2x-x2

与直线y=k（x-1）+5有两个不同交点时，实数k的取值范围是

(

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)

．

Answer 1

分析：由题意可得，曲线表示一个半圆，直线过定点M（1，5），先求出切线MD、ME的斜率，再求出MA、MB的斜率，数形结合可得曲线与半圆有两个不同交点时，实数k的取值范围．

解答：解：曲线y=2+

3+2x-x2

，即 （x-1）²+（y-2）²=4，（y≥2），表示一个半圆．
直线y=k（x-1）+5=kx+5-k 过定点M（1，5），如图所示：
A（-1，2）、B（3，2）．
当直线和半圆相切时，则圆心C（1，2）到直线kx-y+5-k=0的
距离等于半径，即

|k-2+5-k|

k2+1

=2，
解得 k=±

5

2

，即切线MD的斜率为

5

2

，切线ME的斜率为-

5

2

．
由于MA的斜率为

5-2

1+1

=

3

2

，MB的斜率等于

5-2

1-3

=-

3

2

，
数形结合可得，当直线和半圆有两个不同交点时，实数k的取值范围是 (

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)，
故答案为 (

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，直线过定点问题，直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，
属于中档题．