Question

6．已知在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，给出下列两个命题：
①$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$，
②（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²
则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（　　）

• A． ①真、②真
• B． ①真、②假
• C． ①假、②假
• D． ①假、②真

Answer 1

分析 运用线面垂直的判定定理和性质，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可判断①；运用向量的平方即为模的平方，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可判断②．

解答 解：在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，
对于①，AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，可得AB⊥平面ACD，AB⊥CD，
同理可得AC⊥BD，AD⊥CB，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，故①正确；
对于②，（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²
+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²+0+0+0=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AD}$²．
故②正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假的判断，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查线面垂直的判定和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．