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已知函数.请完成以下任务:
(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值.为此,我们列表如下
x0.10.20.50.811.21.51.8246
y0.3960.7691.61.95121.9671.8461.6981.60.9410.649
请观察表中y值随x值变化的特点,解答以下两个问题.
(1)写出函数f(x),在[0,+∞)上的单调区间;指出在各个区间上的单调性,并对其中一个区间的单调性用定义加以证明.
(2)请回答:当x取何值时f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下两个步骤研究a=1时,函数的值域.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)结合已知和以上研究,画出函数f(x)的大致图象,指出函数的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),解不等式
【答案】分析:(Ⅰ)(1)利用图中表格的数据进行判断,然后利用定义法进行证明;
(2)把a=1代入f(x),然后对其进行求导,求出其单调区间,根据图象求出其最值;
(Ⅱ)(1)已知函数,f(-x)=-f(x),从而证明;
(2)根据奇函数的性质,画出草图,然后求出其值域.
(Ⅲ)把a=-1,代入f(x),对其求导研究函数的单调性,利用f(x)的奇函数,对其进行求解;
解答:解:(Ⅰ)(1)从图中数据可以看出:当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x≥1时,y随x的增大而减小,
∴函数f(x),在[0,+∞)上的单调增区间为[0,1],单调减区间为[1,+∞),
现在对(1,+∞)上为减函数进行证明;1<x1<x2
∴f(x)在[0,1]上为增函数,在[1,+∞]上为减函数
现在对(1,+∞)上为减函数进行证明;1<x1<x2
f(x1)-f(x2)=-=
∴x2-x1>0,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2
∴f(x)在(1,+∞)上为减函数,即证;
(2)∵a=1,∴f(x)=,∴f′(x)=
∴当-1<x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x>1或x<-1时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
由上可知,f(x)在x=1点取极大值,∵x<0,∴f(x)<0,
∴f(x)在x=1处取最大值,fmax(x)=f(1)=2;
(Ⅱ)(1)∵a=1,∴f(x)=
f(-x)==-f(x),f(x)为奇函数;
(2)∵当-1<x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x>1或x<-1时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
∵x<0,∴f(x)<0,画出f(x)的草图:

可得f(x)≤2,f(x)值域为:[-2,2]
(Ⅲ)∵a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),
∴f(x)=,f′(x)=-<0,f(x)为减函数,
∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,

f(4-3x)>-f(x-),
∴f(4-3x)>f(-x),∵f(x)为减函数,
∴-1<4-3x<-x<1,
>x>
∴不等式解集为:(
点评:此题主要考查函数的奇偶性和单调性,利用导数求函数的单调性,利用函数的图象求函数的值域,此题是一道综合题,考查的知识点比较多.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
4x
x2+a
.请完成以下任务:
(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值.为此,我们列表如下
x 0 0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.5 1.8 2 4 6
y 0 0.396 0.769 1.6 1.951 2 1.967 1.846 1.698 1.6 0.941 0.649
请观察表中y值随x值变化的特点,解答以下两个问题.
(1)写出函数f(x),在[0,+∞)上的单调区间;指出在各个区间上的单调性,并对其中一个区间的单调性用定义加以证明.
(2)请回答:当x取何值时f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下两个步骤研究a=1时,函数f(x)=
4x
x2+a
,(x∈R)
的值域.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)结合已知和以上研究,画出函数f(x)的大致图象,指出函数的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),解不等式f(4-3x)+f(x-
3
2
)>0

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数数学公式.请完成以下任务:
(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值.为此,我们列表如下
x00.10.20.50.811.21.51.8246
y00.3960.7691.61.95121.9671.8461.6981.60.9410.649
请观察表中y值随x值变化的特点,解答以下两个问题.
(1)写出函数f(x),在[0,+∞)上的单调区间;指出在各个区间上的单调性,并对其中一个区间的单调性用定义加以证明.
(2)请回答:当x取何值时f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下两个步骤研究a=1时,函数数学公式的值域.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)结合已知和以上研究,画出函数f(x)的大致图象,指出函数的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),解不等式数学公式

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省中山二中高一(上)第一次段考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数.请完成以下任务:
(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值.为此,我们列表如下
x0.10.20.50.811.21.51.8246
y0.3960.7691.61.95121.9671.8461.6981.60.9410.649
请观察表中y值随x值变化的特点,解答以下两个问题.
(1)写出函数f(x),在[0,+∞)上的单调区间;指出在各个区间上的单调性,并对其中一个区间的单调性用定义加以证明.
(2)请回答:当x取何值时f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下两个步骤研究a=1时,函数的值域.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)结合已知和以上研究,画出函数f(x)的大致图象,指出函数的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),解不等式

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年四川省成都十八中高一(上)9月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数.请完成以下任务:
(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的最大值.为此,我们列表如下
x0.10.20.50.811.21.51.8246
y0.3960.7691.61.95121.9671.8461.6981.60.9410.649
请观察表中y值随x值变化的特点,解答以下两个问题.
(1)写出函数f(x),在[0,+∞)上的单调区间;指出在各个区间上的单调性,并对其中一个区间的单调性用定义加以证明.
(2)请回答:当x取何值时f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下两个步骤研究a=1时,函数的值域.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)结合已知和以上研究,画出函数f(x)的大致图象,指出函数的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定义域为(-1,1),解不等式

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