Question

如图，已知△ABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=

2

．现将△ABD沿斜边的中线DC折起，使二面角A-DC-B为直二面角，E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点（不包括A）．
（1）确定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
（2）当直线BD与直线EF所成的角为60°时，求证：平面ABD⊥平面BEF．

Answer 1

分析：（1）以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，根据

AD

•

BE

=0，可知AD⊥BE，根据面ABD与面BEF垂直的性质定理可知AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即

AD

•

EF

=0，即可得到F点与C点重合时满足条件；
（2）根据|cos＜

BD

，

EF

＞|=|

BD ? EF

| BD |?| EF |

|=

1

2

求出z，由F是线段AC上（不包括A、C）的点得z=0，从而F点与C点重合，则AD⊥EF，从而得到结论．

解答：证明：（1）由已知二面角A-DC-B为直二面角，又AC⊥CD，
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中，CD=1，∠ADC=45°，
∴AC=1．
以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1）．
∵E为AD中点，
∴E（0，

1

2

，

1

2

），
∵

AD

•

BE

=(0，1，-1)•(-1，

1

2

，

1

2

)=0，
∴AD⊥BE．
若面ABD⊥面BEF，则AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即

AD

•

EF

=0，
设F（0，0，z），则（0，1，-1）•（0，-

1

2

，z-

1

2

）=0，
∴（-

1

2

）•1+（-1）•（z-

1

2

）=0?z=0，
∴F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合时，平面ABD⊥平面BEF．
（2）由（1）知

EF

 =(0，-

1

2

，z-

1

2

)，

BD

=(-1，1，0)
|cos＜

BD

，

EF

＞|=|

BD ? EF

| BD |?| EF |

|=

1

2

解得z=0或z=1，由F是线段AC上（不包括A、C）的点得z=0
∴F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合，
∴AD⊥EF，
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．