Question

若函数f（x）=x³+a|x-1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：带绝对值的函数,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：由条件求得f′（x），根据当x≥1时，f′（x）≥0求得a的范围；当0≤x＜1时，f′（x）≥0，求得a的范围．再把2个a的范围取交集，即得所求．

解答： 解：函数f（x）=x³+a|x-1|=

x3+ax-a，x≥1 x3-ax+a，x＜1

，f′（x）=

3x2+a，x≥1 3x2-a，x＜1

，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，当x≥1时，f′（x）=3x²+a≥0，∴a≥-3；
当0≤x＜1时，f′（x）=3x²-a≥0，∴a≤0．
综上可得，-3≤a≤0，
故答案为：[-3，0]．

点评：本题主要考查对由绝对值的函数，函数的单调性的性质，属于基础题．