Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置并证明结论；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，为中点

【解析】

试题分析：（1）如图建系．分别求出平面，的一个法向量，利用两法向量的夹角求解；（2）设，欲使平面，当且仅当，列出关于的方程并求解即可．

试题解析：（1）为直三棱柱，，，分别为棱的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.

，.设平面的一个法向量为，

则，即，得，.

又平面的一个法向量为，，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

二面角的平面角的余弦值为．

（2）在线段上存在一点，设为，使得平面．

欲使平面，由（１）知，当且仅当．

，．

在线段上存在一点满足条件，此时点为的中点．