Question

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：

k1

k2

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y₁y₂；
（Ⅱ）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y²=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根据斜率公式可把

k1

k2

表示成关于y₁与y₂的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．

解答：（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为x=my+2．             
将其代入y²=4x，消去x，整理得 y²-4my-8=0．
从而y₁y₂=-8．                                
（Ⅱ）证明：设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
则 

k1

k2

=

y3-y4

x3-x4

×

x1-x2

y1-y2

=

y3-y4

y32 4 - y42 4

×

y12 4 - y22 4

y1-y2

=

y1+y2

y3+y4

． 
设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y²=4x，消去x，
整理得y²-4ny-4=0．           
所以y₁y₃=-4．       
同理可得 y₂y₄=-4．          
故

k1

k2

=

y1+y2

y3+y4

=

y1+y2

-4 y1 + -4 y2

=

y1y2

-4

． 
由（Ⅰ）得

k1

k2

=2，为定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．