Question

17．若log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（4，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立，即有$\frac{1}{2}$a＞（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）_max，由配方结合二次函数的最值求法可得最大值2，即可得到a的范围．

解答 解：log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即为
ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立，
即有$\frac{1}{2}$a＞（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）_max，
由$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，x∈[1，2]，即有$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
可得x=1，即$\frac{1}{x}$=1，取得最大值2．
则$\frac{1}{2}$a＞2，解得a＞4．
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．