Question

17．设函数f（x）=lg（1-2x）的定义域为集合M，g（x）=$\sqrt{4-{2}^{x}}$的定义域为集合N，记P=（∁_RM）∩N．
（1）求P；
（2）求函数h（x）=log₂x²+1（x∈P）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象和性质，求出两个函数的定义域M，N，代入集合的补集及交集运算公式，可得集合P；
（2）分析函数h（x）=log₂x²+1（x∈P）的单调性，结合二次函数和指数函数的图象和性质，可得函数h（x）=log₂x²+1（x∈P）的值域．

解答 解：（1）由1-2x＞0得：x＜$\frac{1}{2}$，
∴M=（-∞，$\frac{1}{2}$），∁_RM=[$\frac{1}{2}$，+∞），
由4-2^x≥0得：x≤$\frac{1}{2}$，
∴N=（-∞，2]，
∴P=（∁_RM）∩N=[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）函数h（x）=log₂x²+1=2log₂x+1在[$\frac{1}{2}$，2]为增函数，
当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值-1，当x=2时，函数取最大值3，
故函数h（x）=log₂x²+1（x∈P）的值域为[-1，3]．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域、值域，是二次函数图象与性质和对数函数图象与性质的综合应用，难度中档．