Question

15．已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为4．

Answer 1

分析 先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由AD≤2BD得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出t的最小值即可．

解答 解：设D（x，y），由D在AC上，
得：$\frac{x}{t}+y=1$，即x+ty-t=0，
由AD≤2BD得：${（x-\frac{4}{3}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{3}）}^{2}$≥$\frac{8}{9}$，
依题意，线段AD与圆${（x-\frac{4}{3}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{9}$，至多有一个公共点，
∴$\frac{|\frac{4}{3}-\frac{4}{3}t|}{\sqrt{1{+t}^{2}}}≥\sqrt{\frac{8}{9}}$，解得：t≥2+$\sqrt{3}$或t≤2-$\sqrt{3}$，
∵t是使AD≤2BD恒成立的最小正整数，∴t=4，
故答案为：4．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．