Question

双曲线C的中心在原点，右焦点为F（

2

3

3

，0），渐近线方程为y=±

3

x
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（0，1）的直线L与双曲线的右支交与两点，求直线L的斜率的范围；
（Ⅲ）设直线L：y=kx+1与双曲线C交与A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，依题意，由其焦点坐标与渐近线方程可求得a²=

1

3

，b²=1，从而可得双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y可得：（3-k²）x²-2kx-2=0，依题意，利用韦达定理可得

3-k2≠0 △＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，解之即可求得k的取值范围；
（Ⅲ）联立直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依题意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，从而可求得

2

k2-3

+1=0，继而可解得k的值．

解答：解：（I）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由焦点坐标得c=

2

3

3

，渐近线方程为y=±

b

a

x=±

3

x，
∵c²=a²+b²，
∴a²=

1

3

，b²=1，
∴双曲线C的方程为：

x2

1 3

-y²=1．
（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y得：（3-k²）x²-2kx-2=0，
设两交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由直线和曲线右支交于两点得：

3-k2≠0 △＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，
解得：-

6

＜k＜-

3

．
（III）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

点评：本题考查双曲线的标准方程，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．