Question

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF=FG．求证：
（Ⅰ）△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）EF∥CB．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：综合题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用切割线定理，EF=FG可得

EF

FA

=

FD

EF

，利用∠EFA=∠DFE，可得△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）证明∠FED=∠BCD，即可证明EF∥CB．

解答： 证明：（Ⅰ）由切割线定理得FG²=FA•FD．
又EF=FG，所以EF²=FA•FD，即

EF

FA

=

FD

EF

．
因为∠EFA=∠DFE，所以△FED∽△EAF．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED=∠FAE．
因为∠FAE=∠DAB=∠DCB，
所以∠FED=∠BCD，所以EF∥CB．…（10分）

点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判断，属于中档题．