Question

椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，且。
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足
为坐标原点），当时，求实数的取值范围。

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：（1）设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距为，则，且，
，又，
，
——————————————————————————————6分
（2）由题，直线斜率存在，设直线： ，联立，消得：
，由，得  ①————————8分
设，由韦达定理得，
，
则
或（舍）②
由①②得：——————————————————————————11分
则的中点
，得代入椭圆方程得：
，即
，，即————————15分
点评：根据圆锥曲线的性质求解椭圆的方程，同时能联立方程组来得到交点坐标的关系，结合韦达定理来分析求解，属于中档题。