Question

(本题满分14分) 已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（是坐标原点），,若椭圆的离心率等于.   
(Ⅰ)求直线AB的方程；
(Ⅱ)若三角形ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，椭圆上是否存在点M，使得三角形MAB的面积等于8.

Answer 1

(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于

本试题主要是考查了直线方程的求解，以及椭圆方程的求解和三角形面颊的综合运用。
（1）根据已知的向量关系，直线过原点，并且向量的垂直关系可以得到点A的坐标，然后将点A的坐标代入椭圆方程中可知得到直线的方程。
（2）连结AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由椭圆的对称性可知，参数a,bc的关系式，进而得到椭圆的方程。
（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为d,则应有
利用三角形的面积公式得到。
解：(Ⅰ)由知，直线AB经过原点，又由知，因为椭圆的离心率等于……2分
设A（），由知
∴A（）,代入椭圆方程得   ∴A（），故直线AB的斜率
因此直线AB的方程为……………4分
(Ⅱ)连结AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由椭圆的对称性可知
，所以……………6分
又由解得  故椭圆方程为……………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为,则应有
∴……………10分
与AB平行且距离为4的直线为
消去x得      ……………13分
此方程无解故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分
另解：设点P（4）为椭圆上任意一点
则P到直线的距离为
……………13分
故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分