Question

AB⊥平面BCED，AB=2

3

，四边形BCED是边长为2的菱形，且∠DBC=60°，将△CDE沿CD折起，使平面BCD⊥平面MCD．
（1）求点A到平面BMC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD中点O，连OB，OM，可得MO∥AB，延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=

3

，可证M、O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，利用体积相等，可得点A到平面BMC的距离；
（2）作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，所以∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，求出AB，BF的值，即可求二面角的正弦值．

解答：解：（1）如图，取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，…（1分）
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，…（3分）
所以MO∥AB，…（4分）
所以A、B、O、M共面，
延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=

3

，
∵MO∥AB，∴MO∥面ABC，∴M、O到平面ABC的距离相等，…（6分）
作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，求得OH=OCsin60°=

3

2

，MH=

15

2

，…（8分）
利用体积相等得，V_A-MBC=V_M-ABC，
∴d=

2 15

5

．…（10分）
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，所以∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，…（12分）
设∠AFB为θ，因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，
所以BF=BC•sin60°=

3

，tanθ=

AB

BF

=2，sinθ=

2 5

5

，
所以，所求二面角的正弦值是

2 5

5

．…（14分）

点评：本题考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是利用等体积求点到面的距离，正确作出面面角，属于中档题．