Question

已知点M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一点，过M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交椭圆于A，B两点，且A，B关于原点对称，则k1•k2=-

b2

a2

．类比椭圆的这个性质，设M是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一点，过M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交双曲线于A，B两点，且A，B关于原点对称，则k₁•k₂=

b2

a2

．

Answer 1

分析：首先点M半短轴上的顶点，则M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交椭圆于A，B两点，且A，B关于原点对称，设A和B两点坐标为（a，0），（-a，0），于是可得k1•k2=-

b2

a2

，类比椭圆性质类推双曲线的性质，设点M实轴上顶点（a，0），则M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交椭圆于A，B两点，且A，B关于原点对称，设A和B两点坐标为为（x，y），（-x，-y），即可求出即k₁=

y

x+a

，k₂=

y

x-a

，结合双曲线方程化简即可得到k₁•k₂的值．

解答：解：设点M半短轴上的顶点，则M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交椭圆于A，B两点，且A，B关于原点对称，
设A和B两点坐标为（a，0），（-a，0），即k₁=

b

a

，k₂=-

b

a

，k1•k2=-

b2

a2

，
类比椭圆性质类推双曲线的性质，
设点M实轴上顶点（a，0），则M作斜率分别为k₁，k₂的直线，交椭圆于A，B两点，且A，B关于原点对称，
设A和B两点坐标为为（x，y），（-x，-y），
即k₁=x+a，k₂=

y

x-a

，k₁•k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

，
结合

x2

a2

-

y2

b2

=1化简可得k₁•k₂=

b2

a2

，
故答案为

b2

a2

．

点评：本题主要考查了类比推理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握椭圆和双曲线的性质和定义，由椭圆的性质类比推出双曲线的性质，此题难度不大．