Question

设m，k为整数，方程mx²-2kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为

11

．

Answer 1

分析：设f（x）=mx²-2kx+2，要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点，根据图象可得到关于m和k的不等式组，利用线性规划知识可以求解．

解答：解：设f（x）=mx²-2kx+2，由f（0）=2，知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点
由题意可以得到：必有

m＞0 f(1)=m-2k+2＞0 0＜ k m ＜1 △=4k2-8m＞0

，即

m＞0，k＞0 m-2k+2＞0 m-k＞0 k2-2m＞0

在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，
设z=m+k，则直线m+k-z=0经过图中的阴影中的整点（7，4）时，z=m+k取得最小值，即z_min=11．
所以m+k的最小值为11
故答案为：11．

点评：本题考查二次函数与二次方程之间的联系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．