Question

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x₀∈（k-1，k），则k的取值集合是

1. A.
   {0}
2. B.
   {-3}
3. C.
   {-4，0}
4. D.
   {-3，0}

Answer 1

C
分析：由偶函数f（x-2）可得函数y=f（x）的图象关于=-2对称，结合函数f（x）=e^x+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0可知，函数f（x）=e^x+1-2在（-1，0）上存在零点
由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-5，-4），从而可求k
解答：∵偶函数f（x-2）的图关于y轴对称
∴函数y=f（x）的图象关于=-2对称
∵当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2
∵f（x）=e^x+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0
由零点存在定理可知，函数f（x）=e^x+1-2在（-1，0）上存在零点
由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-5，-4）
由题意方程f（x）=0的实数根x₀∈（k-1，k），则k-1=-5或k-1=-1
k=-4或k=0
故选C
点评：本题考查的知识点是偶函数图象对称性质的应用，根的存在性及根的个数判断，方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键．