Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中e=

1

2

，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为

4

7

，且

AM

=λ

MB

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； 
（Ⅱ）求实数λ的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．

解答： 解：（I）由条件可知，c=1，a=2，
故b²=a²-c²=3，
椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）由

AM

=λ

MB

，可知A，B，M三点共线，
设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
若直线AB⊥x轴，则x₁=x₂=4，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

消去y得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由①的判别式△=32²k⁴-4（4k²+3）（64k²-12）=144（1-4k²）＞0，
解得k2＜

1

4

，

x1+x2= 32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，
由

x1+x2

2

=

16k2

4k2+3

=

4

7

，可得k2=

1

8

，即有k=

2

4

．
将k2=

1

8

代入方程①，得7x²-8x-8=0，
则x₁=

4-6 2

7

，x₂=

4+6 2

7

．
又因为

AM

=(4-x1，-y1)，

MB

=(x2-4，y2)，

AM

=λ

MB

，
所以λ=

4-x1

x2-4

，
所以λ=

-9-4 2

7

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．