Question

【题目】若a1=1，对任意的n∈N* ， 都有an＞0，且nan+12﹣（2n﹣1）an+1an﹣2an2=0设M（x）表示整数x的个位数字，则M（a2017）= ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：依题意， =a1a2+ ， 即 =a2+2，解得：a2=2或a2=﹣1（舍），
=3a2a3+ ，即 =6a3+8，
解得：a3=4或a3=﹣1（舍），
=5a3a4+ ，即 =20a4+32，
解得：a4=8或a4=﹣ （舍），
=7a4a5+ ，即 =56a5+128，
解得：a5=16或a5=﹣2（舍），
猜想：an=2n﹣1 ．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有ak=2k﹣1 ，
∵kak+12=（2k﹣1）ak+1ak+2ak2 ，
∴kak+12﹣（k2k﹣2k﹣1）ak+1﹣22k﹣1=0，
解得：ak+1=2k ， 或ak+1=﹣ （舍），
即当n=k+1时命题成立；
由①、②可知an=2n﹣1 ．
∴M（a1）=M（1）=1，
M（a2）=M（2）=2，
M（a3）=M（22）=4，
M（a4）=M（23）=8，
M（a5）=M（24）=6，
M（a6）=M（25）=2，
∴从第2项起数列{M（an）}是以4为周期的周期数列，
∵2017=4×504+1，
∴M（a2017）=M（a1）=1，
所以答案是：1．
【考点精析】本题主要考查了数列的定义和表示和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．