Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点P从B点出发，在正方形BCC₁B₁的边上按逆针方向按如下规律运动：设第n次运动的路程为a_n，且，第n次运动后P点所在位置为P_n，回到B点后不再运动．
（1）求二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）是否存在正整数i、j，使得直线P_iP_j与平面ACD₁平行？若存在，找出所有符合条件的P_iP_j，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由求得当n=1、2、3、4、5、6、7、8时的a_n的值，找出对应的P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的位置，然后根据P_i的不同位置求解二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）由线面平行的判定定理，分析P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的8个点中有哪些点的连线能够与平面ACD₁内的线平行，找出与平面ACD₁内平行的线即可．
解答：解：（1）由，知：a₁=a₅=2，a₂=a₆=1，a₃=a₇=2，a₄=a₈=3．
当i=1、2、8时，点P₁，P₂，P₈位于线段BC上，此时二面角P_i-AC-B的平面角为0°，所以，二面角的余弦值等于1；
当i=3、4时，P₃、P₄位于平面ACC₁上，此时二面角P_i-AC-B的大小为90°，所以，二面角的余弦值等于0；
然后以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
当i=5或6时，点P₅，P₆位于线段C₁B₁上，此时P₅（2，4，4），P₆（3，4，4），A（4，0，0），C（0，4，0）
所以，，
设平面AP₅C的法向量为，平面AP₆C的法向量为，
由⇒，取z₁=1，得x₁=-2，y₁=-2，
所以
由⇒，取z₂=3，得x₂=-4，y₂=-4，
所以，
由题意知平面ABC的一个法向量为，
再设二面角P₅-AC-B=α，二面角P₆-AC-B=β，
所以，
当i=7时，P₇在线段BB₁上，取AC中点E，连接BE、P₇E，则∠P₇EB为二面角P₇-AC-B的平面角，
在直角三角形P₇BE中，，，所以，所以．
（2）存在正整数i=2，j=3；i=4，j=8；i=6，j=7使得直线P_iP_j与平面ACD₁平行，
∵P₂P₃，P₄P₈，P₆P₇均不在平面ACD₁内，且都平行于AD₁，而AD₁?面ACD₁，
根据线面平行的判定可得三条直线均平行于平面ACD₁．
点评：本题考查了二面角的平面角的求法，考查了平面与平面垂直的性质及直线与平面平行的判定，考查了分析问题的能力和运算能力，是中档题．