Question

函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列{a_n}前n项和为S_n，满足4Snf(

1

an

)=1，求证：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，可得a=0，b=c，结合f(-2)＜-

1

2

，可求函数的解析式，求导函数，可确定函数f（x）的单调减区间；
（2）由已知可得2Sn=an-an2，当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12，两式相减，可求数列的通项，于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0．

解答：（1）解：∵函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定义域为{x|x≠1}，图象过原点
∴a=0，b=c
∵f(-2)=-

4

3b

＜-

1

2

，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴f(x)=

x2

2x-2

（x≠1），∴f′(x)=

x2-2x

2(x-1)2

令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，2）
（2）证明：由已知可得2Sn=an-an2，当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各项均为负数）
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，∴a_n=-n…8
于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0…10
令1+

1

x

=t，x＞0，则t＞1，x=

1

t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′(t)=1-

1

t

由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0①…12
令h(t)=lnt-1+

1

t

，h′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0，于是lnt＞1-

1

t

，即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0②…14
由①、②可知

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即1-

1

an

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

…16

点评：本题考查函数解析式的求解，考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查不等式的证明，同时考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．