Question

已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t；
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）对抽象函数所满足的关系式，进行赋值，分别令x=y=0，x=y=-1，x=1，y=-1即可求f（1）；
（2）对抽象函数所满足的关系式，令x=n，y=1，代入化简即可证明；
（3）对抽象函数所满足的关系式，令y=-x，讨论x为整数的情况，转化为二次函数与方程问题解决即可．
解答：解：（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．

（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴当n∈N₊时，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=则f（n）-n=
而当n∈N₊，且n＞1时，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，则对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t．

（3）∵y=-x时f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵当x∈N₊时由（2）知
当x=0时，f（0）=-1=
当x为负整数时，-x∈N₊，则，
∴
故对一切x∈Z时，有
∴当t∈Z时，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=2
∴满足f（t）=t的整数t有两个．
点评：本题考查抽象函数的求值、计算与证明问题，抽象函数是相对于函数有具体解析式而言的，赋值法是解决抽象函数的一把“利剑”，本题属于中档题．