分析 (1)运用向量加法的平行四边形法则,即可得到所求;
(2)运用向量的减法和向量垂直的条件:数量积为0,即可得证;
(3)运用正弦定理分别求得三角形ABC的三边,再由余弦定理可得∠AOB,∠AOC,∠BOC,再由向量的平方即为模的平方,结合向量数量积的定义,计算即可得到所求值.
解答 解:(1)由向量加法的平行四边形法则,可得
$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$,
由题意可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$,
即有$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$;
证明:(2)$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$,
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$,
则$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$=($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$)•($\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$)
=$\overrightarrow{OC}$2-$\overrightarrow{OB}$2=0,
可得AH⊥BC;
(3)在三角形ABC中,由正弦定理可得
$\frac{AB}{sin75°}$=$\frac{BC}{sin45°}$=$\frac{CA}{sin60°}$=2$\sqrt{2}$,
解得AB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=1+$\sqrt{3}$,
BC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2,
CA=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$,
在△OBC中,OB=OC=$\sqrt{2}$,BC=2,
即有∠BOC=90°,
在△OAC中,OA=OC=$\sqrt{2}$,AC=$\sqrt{6}$,
由余弦定理可得cos∠AOC=$\frac{2+2-6}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$,
可得∠AOC=120°,
在△OAB中,OA=OB=$\sqrt{2}$,AB=1+$\sqrt{3}$,
由余弦定理可得cos∠AOB=$\frac{2+2-(1+\sqrt{3})^{2}}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
可得∠AOB=150°,
即有|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}}$
=$\sqrt{2+2+2+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×(-\frac{\sqrt{3}}{2})+0+2×\sqrt{2}×\sqrt{2}×(-\frac{1}{2})}$
=$\sqrt{3}$-1.
点评 本题考查向量的平行四边形法则和向量垂直的条件:数量积为0,以及向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
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C. | 买1000张也不一定能中奖 | D. | 买1000张一定恰有1张能中奖 |
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