Question

20．已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx，a∈R．若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得，转化成只要a（x-lnx）≤x²-2x，根据自变量的范围将a分离出来，利用导数研究不等式另一侧函数在闭区间上的最小值即可．

解答 解：对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，
可得a（lnx-x）≥2x-x²成立，即为a（x-lnx）≤x²-2x，
又x∈[1，e]，（x-lnx）′=1-$\frac{1}{x}$＞0，即x-lnx递增，可得x-lnx＞0，
可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[1，e]，
h′（x）=$\frac{2（x-1）（x-lnx）-（{x}^{2}-2x）（1-\frac{1}{x}）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
令k（x）=x+2-2lnx，k′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，由x＞2可得k′（x）＞0，k（x）递增；
由x＜2可得k′（x）＜0，k（x）递减．
k（x）_min=k（2）=4-2ln2＞0，可得h′（x）≥0，
所以h（x）在x∈[1，e]上为增函数．h（x）_min=h（1）=-1．
即有a的范围是a≤-1．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数最值，属于中档题．