Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D，则由A₁D∥B₁C?B₁C与DE所成角即为A₁D与DE所成角．在△A₁ED中用余弦定理求解；
（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接BF，EG，GF．由CD⊥平面BCC₁B₁?DC⊥BF?BF⊥平面B₁CD，再由BF∥GE?GE⊥平面B₁CD．?平面EB₁D⊥B₁CD；
（3）连接EF．CD⊥B₁C，GF∥CD?GF⊥B₁C?EF⊥B₁C?∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角，再在△EFG中求解．

解答：解：（1）连接A₁D，则由A₁D∥B₁C知，B₁C与DE所成角即为A₁D与DE所成角．连接A₁E，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可设其棱长为a，则
A1D=

2

a，A1E=DE=

5

2

a

∴cos∠A1DE=

A1D2+A1E2 -DE2

2•A1D•DE

=

10

5

∴直线B₁C与DE所成角的余弦值是

10

5

．（4分）

（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接BF，EG，GF．
∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF?平面BCC₁B₁，
∴DC⊥BF．
又∵BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C，
∴BF⊥平面B₁CD
又∵GF

∥ .

.

1

2

CD，BE

∥ .

.

1

2

CD，
∴GF

∥ .

.

BE，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥GE，
∴GE⊥平面B₁CD．
∵CE?平面EB₁D，
∴平面EB₁D⊥B₁CD．（8分）

（3）连接EF．
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，
∴GF⊥B₁C．
又∵GE⊥平面B₁CD，
∴EF⊥B₁C，
∴∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角．
设正方体的棱长为a，则在△EFG中，GF=

1

2

a，EF=

3

2

a，
∴cos∠EFG=

FG

EF

=

3

3

∴二面角E-B₁C-D的余弦值为

3

3

．（12分）

点评：本题主要通过异面直线所成的角和二面角来考查线线，线面，面面平行、垂直关系的转化．