Question

f（x）是定义在R上且x≠0的可导偶函数，且x＞0时，f（x）+x•f′（x）＞0，f（2）=0，则f（x）＞0的解集为（　　）

A．（-2，2）

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．无法确定

Answer 1

分析：通过构造函数，先求出x＞0时f（x）＞0时的解集；再利用偶函数的性质即可求出x＜0时的解集即可．

解答：解：令g（x）=xf（x），则g^′（x）=f（x）+xf^′（x）．
①当x＞0时，则g^′（x）=f（x）+xf^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
可知当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，∴xf（x）＞2f（2）=0，∴f（x）＞0，因此x＞2满足f（x）＞0；
当0＜x＜2时，g（x）＜g（2）=0，∴xf（x）＜0，解得f（x）＜0，故不满足f（x）＞0，应舍去．
②∵f（x）是定义在R上且x≠0的可导偶函数，∴当x＜0时，不等式f（x）＞0的解集为x＜-2．
综上可知：不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故选B．

点评：熟练掌握构造函数法、分类讨论的思想方法、函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性是解题的关键．