Question

边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，过点A作PA⊥平面ABD，且AP=2

3

．
（Ⅰ）求证：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直线PC与平面DBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）取BD的中点O，连接CO，可得等边△BCD中O⊥BD．根据面面垂直判定定理，由平面DBC⊥平面ABD证出CO⊥平面ABD，结合PA⊥平面ABD可得CO∥PA，最后根据线面平面的判定定理，即可证出PA∥平面DBC；
（II）根据题意，得O、A、P、C四点共面，因此连接AO并延长交PC的延长线于H．由平面DBC⊥平面ABD，证出AH⊥平面BCD，从而得到∠HCO即直线PH平面BCD所成的角．Rt△HCO中，利用正切的定义求得∠HCO=45°，即直线PC与平面DBC所成角的大小为45°．

解答：解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接CO，则
等边△BCD中，可得CO⊥BD．　　　…（1分）
又∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，
CO?平面DBC，CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD．　　　　　　　 …（3分）
又∵AP⊥平面ABD，∴CO∥PA．　　　　　　  …（4分）
∵CO?平面DBC，PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC．　…（7分）
（Ⅱ）∵CO∥PA，
∴O、A、P、C四点共面．
连接AO并延长交PC的延长线于H．
∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，AH⊥BD，
∴AH⊥平面BCD，
∴直线CO即直线PH在平面BCD内的射影，可得∠HCO即直线PH平面BCD所成的角．　…（10分）
∵CO∥PA且OC=

1

2

PA，可得OC是△PAH的中位线．
∴OH=OA=

3

．
又∵OC=

3

，可得Rt△HCO中，tan∠HCO=

HO

OC

=1
∴∠HCO=45°，即直线PC与平面DBC所成角为45°…（14分）

点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行并求直线与平面所成角的大小，着重考查了线面垂直、线面平行的判定定理和直线与平面所成角求法等知识，属于中档题．