Question

15．已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，
即-1＜x＜1，即定义域为（-1，1），
则f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（1+x）＞log_a（1-x），
则1+x＜1-x，
解得-1＜x＜0，
则不等式解集为：（-1，0）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．