Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最大距离是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，且点M（1，e）在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，A，B是椭圆C上的两点，且|AB|=$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得$a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，点M（1，e）代入椭圆，由此能求出椭圆方程．
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出面积，利用配方法可求最值，从而可得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最大距离是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
且点M（1，e）在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此时S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$，
同理，如果AB⊥y轴，由对称性不妨记A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此时S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
∴△AOB面积S≥$\frac{3}{4}$．
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，又△=36k²m²-4（1+3k²） （3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，①
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x1-x2|及|AB|=$\sqrt{3}$得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，②
结合①，②得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原点O到直线AB的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
∴S2=$\frac{3}{4}$•$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{16}$（$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-2）²+$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
故S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=2，即k=±1时上式取等号．
综上，△AOB面积的取值范围是[$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．