Question

【题目】已知函数f（x）= x3+2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C，问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所在直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：设存在过点A（x1 ， y1）的切线曲线C同时切于两点， 另一切点为B（x2 ， y2），x1≠x2 ，
则切线方程是：y﹣（ x13+2x12+3x1）=（x12+4x1+3）（x﹣x1），
化简得：y=（x12+4x1+3）x+（﹣ x13﹣2x12），
而过B（x2 ， y2）的切线方程是y=（x22+4x2+3）x+（﹣ x23﹣2x22），
由于两切线是同一直线，
则有：x12+4x1+3=x22+4x2+3，得x1+x2=﹣4，
又由﹣ x13﹣2x12=﹣ x23﹣2x22 ，
即﹣ （x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）=2（x1﹣x2）（x1+x2）
化简可得x1x2=4，
解得x2=﹣2，x1=﹣2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点
【解析】设存在过点A（x1 ， y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2 ， y2），x1≠x2 ， 分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况即可判断符合条件的所有直线方程．