Question

甲地区有10名人大代表，其中有4名女性；乙地区有5名人大代表，其中有3名女性，现采用分层抽样法从甲、乙两地区共抽取3名代表进行座谈．
（Ⅰ）求从甲、乙两地区各抽取的代表数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名代表中女性数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据分层抽样，可得结论；
（Ⅱ）利用等可能事件概率公式可求从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率；
（Ⅲ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）甲地区有10名人大代表，其中有4名女性；乙地区有5名人大代表，其中有3名女性，
∴采用分层抽样，应在甲地区抽去2人，乙地区抽取1人…（2分）
（Ⅱ）P=

C 1 6 C 1 4

C 2 10

+

C 2 4

C 2 10

=

2

3

，
∴从甲组抽取的代表中至少有1名女性的概率为

2

3

．…（5分）
（Ⅲ）依据题意得ξ可取0、1、2、3．
由P（ξ=0）=

C 2 6 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

2

15

…（6分）P（ξ=1）=

C 2 6 C 1 3 + C 1 6 C 1 4 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

31

75

…（7分）
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2 + C 1 6 C 1 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

28

75

； P(ξ=3)=

C 2 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

6

75

…（9分）

ξ	0	1	2	3
P	2 15	31 75	28 75	6 75

∴Eξ=0×

2

15

+1×

31

75

+2×

28

75

+3×

6

75

=1.4．

点评：本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定ξ的可能取值，求出相应的概率是关键．