Question

已知函数f(x)=

3x+1

3x+1-1

 与 g(x)=

3x

x+1

．
（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；
（2）n∈N^*时，证明：

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）确定f（x）、g（x）在[1，+∞）上是增函数，可得f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数，从而可得结论；
（2）n为奇数时，证明

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

成立，利用错位相减法可证结论；n为偶数时，利用放缩法可得结论．

解答：证明：（1）∵f(x)=

3x+1

3x+1-1

，外函数y=

t+1

3t-1

是减函数，内函数t=3^x是增函数
∴f（x）在R上递减
∵g(x)=

3x

x+1

在[1，+∞）上是增函数
∴f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数
∴f（x）-g（x）≤f（1）-g（1）=-1＜0
（2）

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

?

n

3n+1

-

n

3n

＜

n+1

3n+1

-

n+1

3n+1-1

?

-n

3n+1

＜

-(n+1)

3(3n+1-1)

?

3n+1

3n+1-1

＜

3n

n+1

已证
∴

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

（n为奇数时）
∴当n为奇数时，

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜(

1

3

+

2

32

)+…+(

n

3n

+

n+1

3n+1

)
由错位相减法可得：

1

3

+

2

32

+…+

n+1

3n+1

=

3

4

-

1

4 • 3n

-

n+1

2 • 3n+1

＜

3

4

当n为偶数时，所求

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n-1

+

n+1

3n+1+1

＜

1

3+1

+…+

n+1

3n+1+1

+

n+2

3n+2-1

＜

3

4

綜上，原不等式成立，即

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．