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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=
7
,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.
(1)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1
(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.
考点:平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题:空间位置关系与距离
分析:(1)欲证平面A1DE⊥平面ACC1A1,根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACC1A1垂直,而根据DE⊥AA1而DE⊥AE.AA1∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1
(2)过点A做AF垂直A1E于F,连接DF,由(1)知:平面A1DE⊥平面ACC1A1.所以AF⊥平面A1DE,则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角,在三角形ADF中求出此角即可.
解答: 解:(1)如图所示,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1
又DE?平面A1B1C1
所以DE⊥AA1
而DE⊥AE.AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面ACC1A1
又DE?平面A1DE,
故平面A1DE⊥平面ACC1A1
(2)过点A做AF垂直A1E于F,连接DF,

由(1)知:平面A1DE⊥平面ACC1A1
所以AF⊥平面A1DE,
则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角,
因为DE⊥平面ACC1A1
所以DE⊥AC,
而△ABC是边长为4的正三角形,
所以AD=2
3
,AE=4-CE=4-
1
2
CD=3,
又因为AA1=
7

所以A1E=
AA12+AE2
=
(
7
)2+32
=4,
AF=
AE•AA1
A1E
=
3
7
4

所以sin∠ADF=
AF
AD
=
21
8

故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为
21
8
点评:本小题主要考查空间中的线面关系,考查面面垂直的判定及线面所成角的计算,考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于基础题.
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A、
13
2
B、6
C、11
D、10

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4-(x-1)2
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A、
5
-2
B、
5
C、
8
5
5
-2
D、
7
5
5
-2

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