Question

【题目】已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（log2x）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域 R的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（log2x）= ，∴令t=log2x，

则x=2t，代入原式中：f（t）= ，则f（x）= ，

又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）=0，解得a=1．

则f（x）=

（2）解：由（1）知 ，

设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= = ．

∵函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2，

∴ ﹣ ＞0．

又（ +1）（ +1）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数

（3）解：∵f（x）是奇函数，

从而不等式：f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（3t2﹣k）=f（k﹣3t2），

∵f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣3t2．

即对一切t∈[1，2]有：4t2﹣2t﹣k＞0，k＜4t2﹣2t，

当t=1时最小，则{k|k＜2}

【解析】（1）由已知利用换元法求得函数解析式；（2）直接利用函数单调性的定义证明；（3）由（2）结合函数的奇偶性把不等式f（t2﹣2t）+f（3t2﹣k）＜0恒成立转化为t2﹣2t＞k﹣3t2 ． 分离k后求出函数4t2﹣2t的值域得答案．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较即可以解答此题．