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求周长为定值L(L>0)的直角三角形的面积的最大值.
【答案】分析:因为L=a+b+c,c=,两次运用均值不等式即可求解;或者利用三角代换,转化为三角函数求最值问题.
解答:解:直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,面积为s,
解法一:a+b+=L≥2+

∴S=ab≤2
=•[]2=L2
解法二:设a=csinθ,b=ccosθ.
∵a+b+c=L,
∴c(1+sinθ+cosθ)=L.
∴c=
∴S=c2sinθcosθ=
设sinθ+cosθ=t∈(1,],
则S===(1-)≤(1-)=L2
点评:利用均值不等式解决实际问题时,列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键.
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在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=2
3
,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,cosC有最小值-
1
2

(1)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程.
(2)过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交曲线G于M,N两点.将线段MN的长|MN|表示为m的函数
 
,并求|MN|的最大值.

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