Question

如图1-3-6，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

图1-3-6

(1)求证:△ABC∽△FCD；

(2)若S_△FCD=5，BC＝10，求DE的长.

Answer 1

思路分析：第(1)问,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中点，ED⊥BC，

∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.

第(2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC于M，易知S_△ABC=4S_△FCD.

∴S_△ABC=20，AM=4.又∵AM∥ED，∴，再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S_△ABC=20.

(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC中点，∴EB=EC.∴∠B=∠1.

又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD.

(2)解法一：过点A作AM⊥BC，垂足为点M.

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ ²=4.

又∵S_△FCD=5，∴S_△ABC=20.

∵S_△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4.

又∵DE∥AM，∴.

∵DM=DC=，BM=BD＋DM，BD=BC=5，

∴∴DE=.

解法二：作FH⊥BC，垂足为点H.

图1-3-7

∵S_△FCD=DC·FH，又∵S_△FCD=5，DC=BC=5，

∴5=×5×FH.∴FH=2.

过点A作AM⊥BC，垂足为点M，∵△ABC∽△FCD，

∴=.∴AM=4.

又∵FH∥AM，∴==.

∴点H是DM的中点.

又∵FH∥DE，∴.

∵HC=HM＋MC=，∴.∴DE=.