Question

季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
（Ⅰ）试建立价格P与周次t之间的函数关系式；
（Ⅱ）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125（t-8）²+12，t∈[0，16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？（注：每件销售利润=售价-进价）

Answer 1

分析：（Ⅰ）周次为t，对t进行分类研究，根据题意即可列出价格P与t之间的函数关系式；
（Ⅱ）分段由P-Q得到销售此服装的利润L与周次t的关系式，然后利用二次函数的单调性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意可得，
P=

10-2t，t∈[0，5] 20，      t∈(5，10] 40-2t，t∈(10，16]

；
（Ⅱ）设销售此服装每件的利润为L（元），
则L=P-Q=

10+2t+0.125(t-8)2-12，t∈[0，5] 20+0.125(t-8)2-12，t∈(5，10] 40-2t+0.125(t-8)2-12，t∈(10，16]

=

0.125t2+6，t∈[0，5] 0.125t2-2t+16，t∈(5，10] 0.125t2-4t+36，t∈(10，16]

，
①当0≤t≤5时且t∈N，函数L=0.125t²+6在区间[0，5]上单调递增，
故当t=5时，L_max=9.125；
②当5＜t≤10时且t∈N，函数L=0.125t²-2t+16在区间（5，8）上单调递减，在（8，10）上单调递增，
故当t=6或10时，L_max=8.5；
③当10＜t≤16且t∈N，函数L=0.125t²-4t+36在区间（10，16]上单调递减，
故当t=11时，L_max=7.125．
综合①②③可得，当t=5时，L_max=9.125，
答：第5周时，每件销售利润最大为9.125元．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用．建立的数学模型为分段函数，求解分段函数的最值问题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．