Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2）在椭圆上．
（I）求椭圆的离心率；
（II）点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF₂Q的周长是定值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得c=1，代入点（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2），得到a，b的方程，解方程可得椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；
（II）方法一、设出P，Q的坐标，运用椭圆的焦半径公式和圆中的弦长公式，化简整理，即可得到定值；
方法二、联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合直线和圆相切的条件，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1，
H$（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，2）$在椭圆上，代入椭圆方程得：$\frac{9}{2{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，又a²-b²=1，
解得a=3，$b=2\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$；
（II）方法1：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{8}=1$，$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，
∵0＜x₁＜3，∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，
在圆中，M是切点，
∴$|{PM}|=\sqrt{|OP{|^2}-|OM{|^2}}=\sqrt{x_1^2+y_1^2-8}=\sqrt{x_1^2+8（1-\frac{x_1^2}{9}）-8}=\frac{1}{3}{x_1}$，
∴$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，
同理|QF₂|+|QM|=3，∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF₂Q的周长是6．
方法2：由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1\end{array}\right.$，得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}$，
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4×9×8×（9{k^2}-{m^2}+8）}}{{{{（8+9{k^2}）}^2}}}}$，
∵PQ与圆相切，∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，即$m=2\sqrt{2}\sqrt{1+{k^2}}$，
∴$|PQ|=-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}$，
∵$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，
∵0＜x₁＜3，∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，同理$|{Q{F_2}}|=\frac{1}{3}（9-{x_2}）=3-\frac{x_2}{3}$，
∴$|{{F_2}P}|+|{{F_2}Q}|+|{PQ}|=6-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$，
因此△PF₂Q的周长是定值6．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆以及圆的位置关系，考查韦达定理和弦长公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．