Question

过点P(1，0)作曲线C：y=x²(x＞0)的切线，切点为Q₁.设Q₁在x轴上的投影是P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂，…，依次下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，设点Q_n的横坐标为a_n.

(Ⅰ)求a₁的值，并求a_n与a_n-1(n≥2)的关系式；

(Ⅱ)令b_n=，设数列{b_n}的前n项和为T_n,求T_n；

(Ⅲ)令S_n=a₁+a₂+…+a_n，比较S_n与P(n)=n²+2n-1，n∈N^*的大小.

Answer 1

解：(Ⅰ)y=2x,过点Qn(a_n,,)切线方程为y-=2a_n(x-a_n).

当n=1时,切线y-=2a₁(x-a1)过(1,0),得a₁=2,

当n≥2时,切线y-=2a_n(x-a_n)过P_n-1(a_n-1,0),得a_n=2a_n-1.   

(Ⅱ)∵a_n=2a_n-1,∴{a_n}是以2为首项,公比为2的等比数列,

∴a_n=2ⁿ,  (5分)

b_n=,(6分)

.

(Ⅲ)S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ⁺¹-2,P(n)=n²+2n-1=(n+1)²-2.

∴要比较S_n与P(n)的大小,只要比较2ⁿ⁺¹与(n+1)²的大小即可.

当n=l时,S₁=P(1)；当n=2时,S₂＜P(2)；

当n=3时,S₃=P(3)； 

当n≥4时,2ⁿ⁺¹=(1+1)ⁿ⁺¹展开式至少6项,

∴2ⁿ⁺¹=(1+1)ⁿ⁺¹=≥2()=2[1+n+1+1+]＞(n+1)2.

∴当n≥4时,S_n＞P(n).  (也可用数学归纳法证明略).