Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）首先求导得到，再分别讨论，，和时的单调性即可.

（2）根据（1）的单调性分别讨论，，，和时的零点个数即可.

（1）.

①当时，在区间单调递增；在区间单调递减.

②当时，令，，，且，

则在区间单调递增；在区间和 单调递减.

③当时，令，，

成立，则在R上单调递减；

④当时，令，，，且，

则在区间单调递增；在区间和单调递减.

（2）当时，由（1）知，.

则在区间有且只有一零点.

当时，，则，

故

则在区间有且只有一零点.满足题意；

当时，，易知有且只有一个零点；

当时，若，

在区间单调递减，故不存在两个零点；

当时， 在上单调递减，不存在两个零点；

当时， 在区间单调递减，在区间单调递增，

，故不存在两个零点；

综上所述：当时，有两个不同的零点.