Question

已知函数 f（x）=x²+2lnx+aln（1+x²）．
（I）若a=-

9

2

求f（x）的极值；
（II）已知f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂
（i） 求a的取值范围
（ii）求证：f（x₁）＜1-4ln2
（III） a=0时，求证[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）

Answer 1

分析：（I）a=-

9

2

时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即可求得其极值；
（II）（i）求导数f′（x）=

2[x4+(a+2)x2+1]

x(x2+1)

，令t=x²，问题转化为方程t²+（a+2）t+1=0有两个不同正根，从而有

△=(a+2)2-4＞0 - a+2 2 ＞0

，解出即得a的范围；
（ii）由（i）知x₁，x₂为方程x⁴+（a+2）x²+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x₁＜1，再由a＜-4，得f（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁+aln（1+

x

2 1

）＜

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），令g（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），利用导数可判断g（x₁）的单调性，由单调性得g（x₁）＜g（1），整理后即得结论；
（III）a=0时求出f′(x)=2x+

2

x

，f′(xn)=2xn+

2

xn

，则左边[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

），令S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

，利用倒序相加法可得2S_n，再运用基本不等式即可证明；

解答：解：（I）a=-

9

2

时，f（x）=x²+2lnx-

9

2

ln（1+x²）（x＞0），f′（x）=2x+

2

x

-

9x

1+x2

=

(2x2-1)(x2-2)

x(x2+1)

，
当0＜x＜

2

2

时，f′（x）＞0，当

2

2

＜x＜

2

时，f′（x）＜0，当x＞

2

时，f′（x）＞0，
故f（x）_极小=f（

2

）=2+ln2-

9

2

ln3，f（x）_极大=f（

2

2

）=

1

2

+

7

2ln2

-

9

2

ln3．
（II）由（I）计算过程不难计算出f′（x）=

2[x4+(a+2)x2+1]

x(x2+1)

，
令t=x²，故只需t²+（a+2）t+1=0有两个不同正根，即

△=(a+2)2-4＞0 - a+2 2 ＞0

解得a＜-4，
所以a的范围为a＜-4．
因此x₁，x₂为方程x⁴+（a+2）x²+1=0的两根，且结合韦达定理可知，
0＜x₁＜1，再由a＜-4，
所以f（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁+aln（1+

x

2 1

）＜

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），
令g（x₁）=

x

2 1

+2lnx₁-4ln（1+

x

2 1

），易知g′（x₁）≥0，即g′（x₁）单调递增，
所以g（x₁）＜g（1）=1-4ln2，从而命题得证．
（III）a=0时，f（x）=x²+ln2x，所以f′(x)=2x+

2

x

，f′(xn)=2xn+

2

xn

，
故左边[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）=2ⁿ （

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

），
令S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++…

+C

n-2 n

1

xn-4

+C

n-1 n

1

xn-2

，
利用倒序相加法可得，2S_n=

C

1 n

（x^n-2+

1

xn-2

）+

C

2 n

（x^n-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-2 n

（x^n-4+

1

xn-4

）+

C

n-1 n

（

1

xn-2

+x^n-2）
≥2（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-2 n

+

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2），
从而命题得证．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查二次方程根的分布及二项式定理，考查学生综合运用知识解决问题的能力，解决（III）问的关键是利用倒序相加法其S_n．