Question

17．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面AA₁B₁B是菱形，且∠ABB₁=60°．
（I）求证：AB⊥B₁C；
（Ⅱ）若AB=B₁C=2，BC=$\sqrt{2}$，求二面角B-AB₁-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点，连接OC，OB₁，证明AB⊥平面OCB₁，即可证明．AB⊥B₁C；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．

解答 解：（1）∵四边形AA₁B₁B是菱形，且∠ABB₁=60°．
∴△ABB₁是等边三角形，
取AB中点，连接OC，OB₁，则AB⊥OB₁，
∵CA=CB，∴AB⊥OC，
∵OC∩OB₁=O，OB₁，OC?平面OB₁C，
∴AB⊥平面OCB₁，∴AB⊥B₁C；
（2）∵△ABB₁是等边三角形，AB=2，∴OB₁=$\sqrt{3}$，
∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=$\sqrt{2}$，O为AB的中点，
∴OC=1，
∵B₁C=2，0B₁=$\sqrt{3}$，∴OB₁²+OC²=B₁C²，
∴OB₁⊥OC，
∵OB₁⊥AB，
∴OB₁⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OB，OC，OB₁的方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的坐标系，
可得A（-1，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（0，1，0），
则$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），则C（-1，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
则平面BAB₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面AB₁C₁的法向量，
则：$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=x+$\sqrt{3}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=y+$\sqrt{3}$z=0，
令z=-1，则x=y=$\sqrt{3}$，
可得 $\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，-1），
故cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即二面角B-AB₁-C₁的正弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及二面角的求解，根据相应的判定定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角的常用方法．