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17.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°.
(I)求证:AB⊥B1C;
(Ⅱ)若AB=B1C=2,BC=$\sqrt{2}$,求二面角B-AB1-C1的正弦值.

分析 (1)取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明.AB⊥B1C;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法先求出二面角的余弦值,然后求正弦值即可.

解答 解:(1)∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°.
∴△ABB1是等边三角形,
取AB中点,连接OC,OB1则AB⊥OB1
∵CA=CB,∴AB⊥OC,
∵OC∩OB1=O,OB1,OC?平面OB1C,
∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C;
(2)∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=$\sqrt{3}$,
∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=$\sqrt{2}$,O为AB的中点,
∴OC=1,
∵B1C=2,0B1=$\sqrt{3}$,∴OB12+OC2=B1C2
∴OB1⊥OC,
∵OB1⊥AB,
∴OB1⊥平面ABC,
以O为坐标原点,OB,OC,OB1的方向为x,y,z轴的正向,建立如图所示的坐标系,
可得A(-1,0,0),B1(0,0,$\sqrt{3}$),B(1,0,0),C(0,1,0),
则$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=(-1,1,$\sqrt{3}$),则C(-1,1,$\sqrt{3}$),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(1,0,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=(0,1,$\sqrt{3}$),
则平面BAB1的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量,
则:$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=x+$\sqrt{3}$z=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=y+$\sqrt{3}$z=0,
令z=-1,则x=y=$\sqrt{3}$,
可得 $\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,-1),
故cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
则sin<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{21}}{7})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,
即二面角B-AB1-C1的正弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及二面角的求解,根据相应的判定定理以及建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决二面角的常用方法.

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