Question

5．设函数f（x）=e^x+ax²（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上单调，且y=f′（x）有零点，求a的值；
（2）若对?x∈[0，+∞），有$\frac{f（x）}{ax+1}$≥1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性以及函数的零点求出a的值即可；
（2）通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出函数的最值，从而确定满足条件的a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+2ax，
记g（x）=e^x+2ax，则g′（x）=e^x+2a，
①a=0时，f（x）=e^x，显然不合题意；
②a＞0时，g′（x）＞0，f′（x）在R递增，
∵f′（0）=1＞0，f′（-$\frac{1}{2a}$）＜0，
故y=f′（x）有唯一零点x₁，显然x∈（-∞，x₁）时，f′（x）＜0，
x∈（x₁，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在R不单调，不合题意；
③a＜0时，由g′（x）=0得x=ln（-2a），于是f′（x）在（-∞，ln（-2a））递减，
在（ln（-2a），+∞）递增，因此要满足条件，必须且只需f′[ln（-2a）]=0，
即-2a+2aln（-2a）=0，解得：a=-$\frac{e}{2}$；
（2）a＜0时，若x＞-$\frac{1}{a}$，则ax+1＜0，根据指数函数和幂函数的增长速度知：
存在x₀，当x＞x₀时，必有e^x＞-ax²，即e^x+ax²＞0，
因此x＞max{-$\frac{1}{a}$，x₀}，有$\frac{f（x）}{ax+1}$＜0，显然不合题意，
当a≥0时，记h（x）=e^x+ax²-ax-1，则$\frac{f（x）}{ax+1}$≥1当且仅当h（x）≥0，
h′（x）=e^x+2ax-a，显然h′（x）在[0，+∞）递增，
①a≤1时，由h′（0）=1-a＜1，h′（1）=e+a＞0，
得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1个实数根，
不妨设该实根为x₁，当0＜x＜x₁时，h′（x）＜0，从而h（x）在（0，x₁）递减，
故x∈（0，x₁）时，h（x）＜h（0）=0，不合题意，
综上，a的范围是[0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．