科目：高中数学 来源：2012年上海市普陀区高三年级第二次质量调研二模理科试卷（解析版） 题型：解答题
设点
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上的
个不同的点（
）.
（1） 当
时，试写出抛物线
上的三个定点
、
、
的坐标，从而使得
；
（2）当
时，若
，
求证：
；
（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：
“若，则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为
，设
，
分别过
作抛物线的准线
的垂线，垂足分别为
.
由抛物线定义得到
第二问设
，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为
.
由抛物线定义得
第三问中①取
时，抛物线的焦点为，
设，
分别过
作抛物线的准线垂线，垂足分别为
.由抛物线定义得
，
则
，不妨取
；
；
；
解：（1）抛物线的焦点为，设，
分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得
因为，所以
，
故可取
满足条件.
（2）设
，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.
由抛物线定义得
又因为
；
所以
.
（3） ①取时，抛物线的焦点为，
设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得
，
则，不妨取；；；，
则
，
.
故
，
，
，
是一个当
时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设，分别过作
抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
由
及抛物线的定义得
，即.
因为上述表达式与点
的纵坐标无关，所以只要将这点都取在
轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则
，
而
，所以
.
（说明：本质上只需构造满足条件且
的一组个不同的点，均为反例.）
③ 补充条件1：“点
的纵坐标
（
）满足 
”，即：
“当时，若
，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设
，
分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由
，
及抛物线的定义得，即，则
，
又由，所以，故命题为真.
补充条件2：“点
与点
为偶数，
关于轴对称”，即：
“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）
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