Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的公比为q，设q=f（m）．若数列{b_n}满足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求证：数列{

1

bn

}是等差数列；
（3）在（2）的条件下，设c_n=b_n•b_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）首先求出a₁=1，根据S_n=（m+1）-ma_n对任意的n∈N^*都成立求出S_n=（m+1）-ma_n，S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），两式相减即可得a_n=ma_n-1-ma_n，整理可证得

an

an-1

=

m

m+1

(n≥2)，于是可证得数列a_n是首项为1，公比为

m

m+1

的等比数列，
（2）根据b_n=f（b_n-1）得到bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，整理得

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，据此可证得数列{

1

bn

}是等差数列，
（3）求出数列{b_n}的通项公式，然后求出数列{c_n}的表达式cn=bn•bn+1=

1

n(n+1)

，最后利用裂项相消法进行求和最后可得T_n=1-

1

n+1

，于是可以证明T_n＜1．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴

an

an-1

=

m

m+1

(n≥2)．
∴数列a_n是首项为1，公比为

m

m+1

的等比数列．
（2）f(m)=

m

m+1

，b1=a1=1，bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，
∴

1

bn

=

b n-1+1

bn-1

，∴

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）得

1

bn

=n，则bn=

1

n

．cn=bn•bn+1=

1

n(n+1)

，
Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题主要考查数列求和和等差、等比数列的关系的确定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差、等比数列的性质，会利用裂相消法求数列的和，本题难度一般．