Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）求点O到平面ABM的距离．

Answer 1

分析：法一：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（ 2）平面ABM与PC交于点N，说明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，然后解三角形，求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，说明|DM|就是D点到平面ABM距离，求解即可．
法二：建立空间直角坐标系，
（ 2）求出平面ABM的一个法向量，求出

PC

，然后求出sinα=|

PC • n

| PC || n |

|即可．
（3）利用向量的射影公式直接求h=|

AO • n

| n |

|即可

解答：解：方法（一）：
（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，
则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCDtan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

所求角为arctan2

2

（3）因为O是BD的中点，
则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD中点，DM=2

2

，
则O点到平面ABM的距离等于

2

．

方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
设平面ABM的一个法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AB

，

n

⊥

AM

可得：

2x=0 2y+2z=0

，
令z=-1，则y=1，即

n

=(0，1，-1)
设所求角为α，则sinα=|

PC • n

| PC || n |

|=

2 2

3

，
所求角的大小为arcsin

2 2

3

、
（3）设所求距离为h，由O(1，2，0)，

AO

=(1，2，0)，
得：h=|

AO • n

| n |

|=

2

点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．